Aplicaciones de la Derivadas

Las aplicaciones de las derivadas son diversas, así que a continuación se enumeran algunas de ellas:

Derivadas de Orden Superior:

Las derivadas de orden superior son básicamente volver a derivar una derivada. Las funciones se pueden volver a derivar enésima cantidad de veces. Se simbolizan como la derivada de otra derivada, o sea, f''(x) sería la segunda derivada de la f(x).

Ejemplo 1

Hallar f’’’(x), es decir la tercera derivada, si f(x)=X^3+8x^2-5x+3

Entonces tenemos que:

F’(x)=3x^2+8x-5; luego

F’’(x)=6x^2+8; y finalmente

F’’’(x)=12x

Ejemplo 2

Teniendo en cuenta que la derivada de la distancia es la velocidad y de esta última la aceleración, si se tiene que para un cuerpo la distancia en función del tiempo está dada por d(t)=3x^2+20x, encontrar la velocidad y la aceleración.

d'(t)=v(t)=6x+20; Así que la velocidad está dada por v(t)=6x+20

d''(t)=v'(t)=a(t)=6; Así que la aceleración es de 6

Razones de Cambio:

Las razones de cambio son precisamente eso,  cambios de una variable en función de otra. Sin embargo, muchas veces los cambios de estas variables están definidos por funciones complicadas, que conviene derivar para hallar el determinado. Los principales ejercicios de razones de cambio están relacionados con cambios geométricos de algún tipo en relación al tiempo. Por esto es necesario tener un buen manejo del despeje de ecuaciones, así como saber las principales fórmulas geométricas. Normalmente se procederá a despejar una única variable en función de otra en un instante determinado, luego se derivará toda la función para obtener el cambio asociado con respecto al tiempo y finalmente se hallará el cambio en el instante requerido. Hay que tener en cuenta de cómo se están derivando las variables, esto es, en función de qué otra variable se derivan; usualmente nos piden cambios de volúmenes, áreas, radios, aristas, lados o demás en función del tiempo, por esto debemos tener en cuando que la derivada de la distancia es la velocidad (V=x/t) y la derivada de la esta última es la aceleración.

Problema 1

La altura de un triángulo disminuye a razón de 0.3cm/s, mientras su área lo hace en 1cm^2/s. Calcular la variación de velocidad de la base del triángulo cuando la altura mide 4cm.y el área 10cm^2

Problema 2

La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar:

1. la variación del área del rectángulo

2. la variación del perímetro del rectángulo

Máximos y mínimos:

Las derivadas nos permiten hallar los puntos máximos y mínimos de una función. Esto es especialmente conveniente cuando tenemos que encontrar la mayor forma de aprovechar materiales para construir figuras o  mínimos de tiempo, etc. Para hacer la llamada “optimización” se debe derivar la función, pues esto permite hallar su pico máximo o mínimo; en caso de que la función esté elevada al cubo o más, la función puede tener más de un máximo y/o mínimo, teniendo la función al cuadrado un solo pico (Máximo o mínimo), el exponente al cubo dos picos (Un máximo y un mínimo),  la cuarta potencia tres (dos máximos y un mínimo o dos mínimos y un máximo) y así sucesivamente. Para establecer si la derivada es un máximo o mínimo se deriva por orden superior las veces que sean necesarias para encontrar un solo número escalar, sin variable. Si este último número es menos a 0, entonces nos referimos a un máximo con la función, además que en caso de que la función esté elevada al cuadrado la parábola abriría hacia abajo, mientras que si es mayor a 0 nos indicaría un mínimo y que la parábola abre hacia arriba. Los máximos y mínimos son ampliamente usados en economía y en geometría, para maximizar la eficiencia de las condiciones iniciales.

Así pues, si tenemos una función determinada f(x), f’(x) correspondería al máximo o mínimo a hallar. Y para saber si es un máximo o mínimo, tendríamos que si f’’(x)>0 entonces f’(x) es un mínimo y si f’’(x)<0 entonces f’(x) es un máximo.

Problema 1

Ejercicios Propuestos:

1) Hallar la tercera derivada de las siguientes funciones:
   f(x)=30x+30x^2
   g(x)=x^7
   h(x)=  x^2
             10
2) Una escalera apoyada contra una pared tiene 50 metros de altura. Si se desliza por esta a razón constante de 3m/s ¿A qué velocidad se mueve la escalera por el suelo cuando al distancia del suelo a la parte de la escalera que se desliza es de 5m?

3) Un tanque con forma de prisma triangular es llenado con arcilla a razón de 30cm^3/s. Si la base del prima tiene de área 40cm^2 ¿A qué velocidad aumenta su altura?

4) Hallar el máximo beneficio que obtiene una empresa de colchones que vende cada colchón a 200.000 pesos, si los costos de producción se resumen en la expresión matemática p(x)=40000x+x^3/20

5) Si se tienen 4000 m^2 de alambre para cercar un terreno ¿Cuál es el área mayor que podría tener el terreno cercado sabiendo que el alambre tiene que darle tres vueltas?