Derivando sin límites...

Para derivar se necesita conocer unas ciertas reglas de derivación. Estas nos permitirán hallar de una manera mucho más rápida la derivada de determinadas funciones. A continuación está una tabla con las principales reglas de derivación y su fórmula general:

Ejemplo regla de la suma:

f(x)=4x+5x^2; Entonces

df(x)=d4x+d5x^2; esto es, cata término se puede derivar por aparte. Funciona igual para la suma.

Ejemplo Regla del producto por función:

f(x)=3*(2x+3); entonces

df(x)=3*d(2x+3)=3*(d2x+d3); porque el tres multiplica a la función como tal. Casi como si fuera una especie de coeficiente.

Ejemplo Regla de la Potencia:

y=40x^60; entonces

y'=40*60x^(60-1)=2400x^59

Ejemplo Regla del producto:

y=(x+1)(4x^2-3); entonces

y=(1)(3x^2-3)+(x+1)(8x); y luego se operan los términos con álgebra simple. Lo que ocurre es que al derivar x+1, solo se deriva x=1 y luego al derivar d4x^2=8x por regla de la potencia. Entonces la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.

Ejemplo regla del cociente:

y=3x ; Entonces
      2


y'=3*2-3x*0 = 3; pues d3x=3 y d2=0, así que luego resolveríamos el resto con aritmética común.

         4             2

Ejemplo Regla de la Cadena:

y=(4x+5x^2)^8; entonces

y'=8(4x+5x^2)^(8-1)*(4+10x); esto ocurre porque el ocho baja a multiplicar al término, luego al exponente al que se elevaba el término se le resta uno  finalmente se multiplica todo por la derivada interna del paréntesis. Luego entonces:

y'=(32+80x)*(4x+5x^2)^7

Ejemplo Regla de la composición: Trabaja sobretodo para funciones trigonométricas. Es otra aplicación de la cadena. Primero que todo, tengamos en cuenta que la derivada del seno es igual al coseno.

Así pues, si

y=sen(8x+30); entonces

y'=cos(8x+30)*(8); pues la primera función a derivar será la función seno, luego habrá que derivar la función contenida por él, es decir, 8x+30.

Finalmente:

y'=8cos(8x+30)

...
......
........
......
...


De esta manera, teniendo en cuenta las reglas, si te pidieran derivar la función:

f (x)=9x^2 + 30x + 18000

Tendrìamos que:

df(x)=d9x^2 +d30x + d18000

Entonces:

f' '(x)=18x +30 

Pues en la derivada de 9x^2 nueve por dos da 18, que es coeficiente por el exponente, y al exponente de x se le resta uno. La derivada de 30x es 30 porque solo lo acompaña una variable y la derivada de 18000 es 0 porque este no está acompañado de ninguna variable a derivar.

Si ahora te pidieran resolver la siguiente expresión:

f (x)=(3x+2)*(4x^2-2)

                3x

Su derivada sería

f '(x)=[(3)*(4x^2-2)+(3x+2)(8x)]*3x - [(3x+2)*(4x^2-2)]*3

                                    (3x)^2

Esto ocurre porque cuando vamos a derivar una función que contenga muchas condiciones, como la anterior, tenemos que tener en cuenta cuál es la operación más relevante, en este caso la operación principal era un cociente, por lo que se aplica primordialmente esta regla. Así pues, tenemos en el numerador el primero término como la derivada del numerador, pero en este numerador hay un producto, por lo que para derivarlo requeriremos de la regla del producto, quedando así: (3)*(4x^2-2)+(3x+2)(8x)]*3x . Luego eso se multiplicará por el denominador sin derivar y luego el segundo termino de el numerador está dado por el producto entre el numerador de la función original por la derivada de el denominador, que es 3.

Procederemos ahora a operar algebraica-mente todos estos términos para reducirlos a su mínima expresión.

f '(x)=(12x^2-6+24x^2+16x)*3x - (12x^3-6x+8x^2-4)*3

                                      (3x)^2

f '(x)=36x^3-18x+72x^3+48x^2 - 36x^3+18x-24x^2+12

                                       9x^2

f '(x)=72x^3+24x^2+12

                9x^2

f '(x)=24x^3+8x^2+4

                3x^2

Ahora bien, ¡Atrévete a hacer estos ejercicios!:

1) f(x)=3x^9+2x^2

2) f(x)=[(x^2+30x+3)^3]*3x

Derivadas en funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, como su mismo nombre lo indica, son funciones, por lo tanto son derivables. Para derivar en funciones trigonométricas existen ciertas reglas básicas, aunque también aplicamos siempre las anteriores reglas de derivación cuando sean necesarias. Cuando vayamos a derivar una función trigonométrica debemos tener en cuenta que la mera función nos exige, casi en todo caso, a excepción de que solo halla una variable a derivar dentro de la función, que apliquemos regla de la composición.

Así pues, vamos a derivar la función siguiente:

y=sen (x^2)*cos (2x)

Como hay un producto, tenemos que resolver por regla del producto, pero tenemos que tener cuidado al derivar las funciones trigonométricas cuando halla que hacerlo, pues como son funciones compuestas, entonces tendremos que derivar también la función del interior, en caso de que la halla. Así queda la derivación:

y'=cos (x^2)*2x*cos(2x)+sen(x^2)*-sen(2x)*2

y'=2x cos (x^2)cos(2x)-2sen(x^2)sen(2x)

Ahora resolveremos otro ejemplo:

y=tan^2 (2x)

Entonces por propiedades de las funciones trigonométricas diremos que:

y= [tan(2x)]^2

Y al derivar...

y'=2tan(2x)sec(2x)*2; pues hay que hacer regla de la cadena, así que el exponente 2 baja como coeficiente. Luego se le resta uno al exponente de la tangente, que queda elevada a la uno. Tras esto se deriva la función interna, pero también hay que derivar la otra función interna (2x), cuya derivada es 2.

Finalmente:

y'=4tan(2x)sec(2x)

Ahora te toca a ti. Resuelve los siguientes ejercicios:

3) f(x)=3sen(2x)+cos^3(x)+sec (x+1)

4) y=sen^2(x^2+3)

Derivadas Implícitas

Las derivadas implícitas se caracterizan por que al no poder despejar a la variable y, es decir, aislarla, no se puede derivar de la manera tradicional. Así pues, tendremos que derivar las dos variables y luego despejar la variable y', sin importar que la variable y pueda quedar en el resultado final, pues comúnmente nos darán las coordenadas en x e y para resolver estos casos.

En ejemplo básico sería el siguiente:

xy^2+y^3=2xy+3x^2

Entonces para derivar las variables x se derivarán de la manera común, mientras que las variables y se derivarán con las reglas normales, pero siempre que se deriven habrá que multiplicarlas por la variable y'. 

Así que al derivar el primer término, xy^2; tenemos in producto, por lo que la derivada quedaría de la siguiente forma: 1y^2+x*2y*y'; pues la derivada de x es 1 y la derivada de y^2 es 2y, teniendo pues que multiplicar al fin por y'.

Si seguimos estas pautas, la derivada sería:

y^2+x*2y*y'+3y^2y'=2y+2xy'+6x; lo siguiente que haremos es agrupar todos los términos con la variable y'en uno de los miembros de la ecuación, mientras todas las otras variables las dejaremos en el lado restante, así:

2xyy'+3y^2y'-2xy'=2y+6x-y^2; luego factorizamos el lado con la variable y' con factor común y'.

y'(2xy+3y^2-2x)=2y+6x-y^2; y finalmente despejamos la variable y' al pasarla como divisor en el otro miembro de la ecuación.

y'=      2y+6x-y^2     

         2xy+3y^2-2x

Así pues, las derivadas implícitas no son nada del otro mundo. Solamente tienes que saber cuándo aplicar y qué regla aplicar. Luego es simple despeje.

Para afianzar tus conocimientos, resuelve las siguientes derivadas implícitas:

5) x^3+3xy^2=4y^4+23xy

6) y=Cos^3 (xy^2+y) 

Si tienes algún problema con los ejercicios, trata viendo el video sobre funciones trigonométricas y derivadas implícitas.

Espero que este blog haya sido de tu agrado. Cualquier comentario o sugerencia será aceptado cordialmente.

¡Éxitos!

Videos Reglas de derivación y Derivadas implícitas y en Funciones Trigonométricas

El siguiente Video trata varias de las pricipales reglas de derivación de una manera puntual y clara.

 

Aquí está la segunda parte, conteniendo la derivación de las funciones trigonométricas y la resolución de derivadas implícitas.