La derivada es la pendiente de la reta tangente. Así pues, primero se debe saber qué es una recta tangente; la tangente, según Euclides, es la recta que pasa por un único punto en una circunferencia (La secante cortará la circuferencia en dos puntos cualquiera).
Una de las mejores maneras de abordar el concepto de derivada es a partir del concepto de la recta tangente.
Sin embargo, esta definición solo aplica para la circunferencia. Como hay muchas funciones de curva distintas a esta, a continación se explica la fórmula para hallar la derivada de cualquier punto de la curva.
Una de las mejores maneras de abordar el concepto de derivada es a partir del concepto de la recta tangente.
Sea P un punto de una curva y Q un Punto Móvil cercano al punto P en esa curva, considere la recta secante (que pasa por los dos puntos de la curva) QP. La recta tangente será la recta límite cuando Q tiende a acercarse a P.
La idea al derivar será entonces hallar la pendiente de la recta tangente de una curva. Esto es, la pendiente de la recta límite.
Esto de por sí representa un gran problema sistemático, pues no tenemos los dos puntos de la tangente necesarios para hallar la pendiente de un modo común (con ecuación de pendiente), así que convendrá usar la definición de Límites combinada con la común.
Para esto, primero tenemos que tomar en cuenta que las coordenadas para los puntos P y Q vienen dadas en términos de x (una distancia horizonta) y f(x) (como la función que asocia a cada punto de x con una imágen en y.
Así pues, las coordenadas se corresponden para el punto P=[x, f(x)] y las del punto Q=[x+h, f(x+h)]. En el caso del punto Q, la distancia h se deberá en esencia a la existencia de una diferencia de espacio entre los putos P y Q en cuanto al eje x se refiere, así pues, la distancia adicional se representa como h y, por ende, en el eje y la función correspondiente también la incluirá (Remitirse a la imagen del comienzo del blog para aclarar dudas).
Así pues, procederemos ahora a sacar la fórmula para la pendiente de cualquier secante ente P y Q (La secante corta la curva a través de dos puntos, en este caso el punto P y el punto móvil Q).
De la fórmula de la pendiente m=(Y2-Y1)/(X2-X1), tenemos entonces que:
Y ahora, sabiendo que cuando la distancia h de la secante tiende a ser cero se encuentra la tangente, entonces, como nuestro objetivo es encontrar la pendiente de la tangente, aplicaremos límites para encontrar la pendiente de la tangente (ya tenemos la ecuación de la pendiente de secante, así que al aplicar límite tendiendo a 0 buscamos encontrar la pendiente de la secante en la que la distancia h no existe y esa línea es la tangente). Así pues, precederemos a aplicar al límite correspondiente:
La fórmuala anterior será la fórmula general de la derivada a partil de los límites.
Sobre las derivadas, se simbolizan con un apóstrofe en la función, es decir, la derivada de g(x) se nombra como g'(x). También se puede incluir la letra d minúscula antes del nombre de la función, así: dg.
Para resolver ejercicios de derivadas, desde límites, tendremos que remplazar en la fórmula general las funciones determinadas, teniendo sumo cuidado de remplazar adecuadamente en el primer miembro [f(x+h)] cada variable de la función por la expresión x+h.
A continuación se resolverán algunos ejercicios para clarificar aún mejor los conceptos. Aunque antes de realizarlo, debido a la existencia de binomios de Newton (a+b)^n , se expondrá un concepto clave en la resolución de estos: El Triángulo de Pascal.
Este triángulo nos proporciona los coeficientes de los terminos del producto dependiendo de el exponente del binomio inicial, así pues, encontraremos, por ejemplo, que para el exponente 6 los números correspondientes se encontrarán en el "piso" siete del triángulo (los coeficientes de algún exponente se encuentran en el "piso" inmediatamente posterior, es decir, para el exponente uno será el piso dos, para el dos el tres, para el cuatro el cinco y así sucesivamente), por lo que serán respectivamente 1, 6, 15, 20, 15, 6 y 1.
Sobre las variables a y b del binomio inicial las operaremos de la siguiente manera; primero habrá que organizar una de las variables en todos los términos de la potencia y se elevarán descendentemente desde el número al que se elevó origninalmente, si fuera el seis, entonces los exponentes correspondientes para la variable a en cada término serían 6,5,4,3,2,1 y 0 (el último término no tienne a primera variable. Luego se hará el proceso inverso con la segunda variable, esto es; se trascribirá la variable a todos los términos de la potencia y los eponentes de la variable, respectivamente, ascenderán desde 0 hasta 6. Así pues, a resolución del binomio (a+b)^6 es a^6 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6a^1b^5 + b^6.
Sobre las variables a y b del binomio inicial las operaremos de la siguiente manera; primero habrá que organizar una de las variables en todos los términos de la potencia y se elevarán descendentemente desde el número al que se elevó origninalmente, si fuera el seis, entonces los exponentes correspondientes para la variable a en cada término serían 6,5,4,3,2,1 y 0 (el último término no tienne a primera variable. Luego se hará el proceso inverso con la segunda variable, esto es; se trascribirá la variable a todos los términos de la potencia y los eponentes de la variable, respectivamente, ascenderán desde 0 hasta 6. Así pues, a resolución del binomio (a+b)^6 es a^6 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6a^1b^5 + b^6.
...
...
...
...
...
Proseguiremos con los ejercicios.
Hallar la derivada según la definición de límite de las siguientes funciones:
Hallar la derivada según la definición de límite de las siguientes funciones:
1) f(x)= x^2+9x+300 Lo primero que se hará será remplazar la función en la fórmula de la derivada. Luego se empezará a resolver con reglas algebráicas que pueden incluir factorización, suma algebráica, productos y cocientes algebráicos, productos notables y demás. Debe de ser conciente de que si no tiene suficiente manejo de esos temas debe entrenarlos lo suficiente. Probablemente tendrá que factorizar por factor común para eliminar la variable h del denominador de la fórmula, pues en caso de que no lo hiciera e límite tomaría valor indeterminado infinito.
2) f(x)=x^3+4x^2+3x+4
3) 9x^7
4) x^3-x
5) 2x^2-30x+28
6) f(x)=(x^2-1)/(x+3)
Cabe resaltar que la fórmula se basa en que al lograr cancelar la h del denominador de la fórmula, el resto de aches se encargarán de cancelar los términos innecesarios cuando se reemplaza el límite, pues como h está tendiendo a cero, para resolver la ecuación se debe suponer h=0. Este remplaze final será el que, en caso de que el ejercicio esté correctamente desarrollado, termine dando como resultado la derivada de la función dada.
Estos han sido algunos de los ejemplos de cómo se resuelven los ejercicios de derivadas a partir de la fórmula obtenida con el análisis de la derivada como un límite entre un punto imaginario desplazandose por la función. Así pues, hay reglas de derivación que pueden facilitar el proceso y demás. Estas se verán en el siguiente post. Mientras tanto, vayan practicando sus habilidades matemáticas de derivación con los siguientes ejercicios:
1) 4x^4+3x^3
2) x^3+20x-65
3) x^2/(x+30)
4)1000x^2
5) πx^2-π
