Video Aplicación Derivadas

A continuación se presenta un video con la explicación de las principales aplicaciones de las derivadas:

http://www.youtube.com/watch?v=PaoDHLKSgPk

Aplicaciones de la Derivadas

Las aplicaciones de las derivadas son diversas, así que a continuación se enumeran algunas de ellas:

Derivadas de Orden Superior:

Las derivadas de orden superior son básicamente volver a derivar una derivada. Las funciones se pueden volver a derivar enésima cantidad de veces. Se simbolizan como la derivada de otra derivada, o sea, f''(x) sería la segunda derivada de la f(x).

Ejemplo 1

Hallar f’’’(x), es decir la tercera derivada, si f(x)=X^3+8x^2-5x+3

Entonces tenemos que:

F’(x)=3x^2+8x-5; luego

F’’(x)=6x^2+8; y finalmente

F’’’(x)=12x

Ejemplo 2

Teniendo en cuenta que la derivada de la distancia es la velocidad y de esta última la aceleración, si se tiene que para un cuerpo la distancia en función del tiempo está dada por d(t)=3x^2+20x, encontrar la velocidad y la aceleración.

d'(t)=v(t)=6x+20; Así que la velocidad está dada por v(t)=6x+20

d''(t)=v'(t)=a(t)=6; Así que la aceleración es de 6

Razones de Cambio:

Las razones de cambio son precisamente eso,  cambios de una variable en función de otra. Sin embargo, muchas veces los cambios de estas variables están definidos por funciones complicadas, que conviene derivar para hallar el determinado. Los principales ejercicios de razones de cambio están relacionados con cambios geométricos de algún tipo en relación al tiempo. Por esto es necesario tener un buen manejo del despeje de ecuaciones, así como saber las principales fórmulas geométricas. Normalmente se procederá a despejar una única variable en función de otra en un instante determinado, luego se derivará toda la función para obtener el cambio asociado con respecto al tiempo y finalmente se hallará el cambio en el instante requerido. Hay que tener en cuenta de cómo se están derivando las variables, esto es, en función de qué otra variable se derivan; usualmente nos piden cambios de volúmenes, áreas, radios, aristas, lados o demás en función del tiempo, por esto debemos tener en cuando que la derivada de la distancia es la velocidad (V=x/t) y la derivada de la esta última es la aceleración.

Problema 1

La altura de un triángulo disminuye a razón de 0.3cm/s, mientras su área lo hace en 1cm^2/s. Calcular la variación de velocidad de la base del triángulo cuando la altura mide 4cm.y el área 10cm^2

Problema 2

La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar:

1. la variación del área del rectángulo

2. la variación del perímetro del rectángulo

Máximos y mínimos:

Las derivadas nos permiten hallar los puntos máximos y mínimos de una función. Esto es especialmente conveniente cuando tenemos que encontrar la mayor forma de aprovechar materiales para construir figuras o  mínimos de tiempo, etc. Para hacer la llamada “optimización” se debe derivar la función, pues esto permite hallar su pico máximo o mínimo; en caso de que la función esté elevada al cubo o más, la función puede tener más de un máximo y/o mínimo, teniendo la función al cuadrado un solo pico (Máximo o mínimo), el exponente al cubo dos picos (Un máximo y un mínimo),  la cuarta potencia tres (dos máximos y un mínimo o dos mínimos y un máximo) y así sucesivamente. Para establecer si la derivada es un máximo o mínimo se deriva por orden superior las veces que sean necesarias para encontrar un solo número escalar, sin variable. Si este último número es menos a 0, entonces nos referimos a un máximo con la función, además que en caso de que la función esté elevada al cuadrado la parábola abriría hacia abajo, mientras que si es mayor a 0 nos indicaría un mínimo y que la parábola abre hacia arriba. Los máximos y mínimos son ampliamente usados en economía y en geometría, para maximizar la eficiencia de las condiciones iniciales.

Así pues, si tenemos una función determinada f(x), f’(x) correspondería al máximo o mínimo a hallar. Y para saber si es un máximo o mínimo, tendríamos que si f’’(x)>0 entonces f’(x) es un mínimo y si f’’(x)<0 entonces f’(x) es un máximo.

Problema 1

Ejercicios Propuestos:

1) Hallar la tercera derivada de las siguientes funciones:
   f(x)=30x+30x^2
   g(x)=x^7
   h(x)=  x^2
             10
2) Una escalera apoyada contra una pared tiene 50 metros de altura. Si se desliza por esta a razón constante de 3m/s ¿A qué velocidad se mueve la escalera por el suelo cuando al distancia del suelo a la parte de la escalera que se desliza es de 5m?

3) Un tanque con forma de prisma triangular es llenado con arcilla a razón de 30cm^3/s. Si la base del prima tiene de área 40cm^2 ¿A qué velocidad aumenta su altura?

4) Hallar el máximo beneficio que obtiene una empresa de colchones que vende cada colchón a 200.000 pesos, si los costos de producción se resumen en la expresión matemática p(x)=40000x+x^3/20

5) Si se tienen 4000 m^2 de alambre para cercar un terreno ¿Cuál es el área mayor que podría tener el terreno cercado sabiendo que el alambre tiene que darle tres vueltas?

Derivando sin límites...

Para derivar se necesita conocer unas ciertas reglas de derivación. Estas nos permitirán hallar de una manera mucho más rápida la derivada de determinadas funciones. A continuación está una tabla con las principales reglas de derivación y su fórmula general:

Ejemplo regla de la suma:

f(x)=4x+5x^2; Entonces

df(x)=d4x+d5x^2; esto es, cata término se puede derivar por aparte. Funciona igual para la suma.

Ejemplo Regla del producto por función:

f(x)=3*(2x+3); entonces

df(x)=3*d(2x+3)=3*(d2x+d3); porque el tres multiplica a la función como tal. Casi como si fuera una especie de coeficiente.

Ejemplo Regla de la Potencia:

y=40x^60; entonces

y'=40*60x^(60-1)=2400x^59

Ejemplo Regla del producto:

y=(x+1)(4x^2-3); entonces

y=(1)(3x^2-3)+(x+1)(8x); y luego se operan los términos con álgebra simple. Lo que ocurre es que al derivar x+1, solo se deriva x=1 y luego al derivar d4x^2=8x por regla de la potencia. Entonces la derivada del primero por el segundo sin derivar, más la derivada del segundo por el primero sin derivar.

Ejemplo regla del cociente:

y=3x ; Entonces
      2


y'=3*2-3x*0 = 3; pues d3x=3 y d2=0, así que luego resolveríamos el resto con aritmética común.

         4             2

Ejemplo Regla de la Cadena:

y=(4x+5x^2)^8; entonces

y'=8(4x+5x^2)^(8-1)*(4+10x); esto ocurre porque el ocho baja a multiplicar al término, luego al exponente al que se elevaba el término se le resta uno  finalmente se multiplica todo por la derivada interna del paréntesis. Luego entonces:

y'=(32+80x)*(4x+5x^2)^7

Ejemplo Regla de la composición: Trabaja sobretodo para funciones trigonométricas. Es otra aplicación de la cadena. Primero que todo, tengamos en cuenta que la derivada del seno es igual al coseno.

Así pues, si

y=sen(8x+30); entonces

y'=cos(8x+30)*(8); pues la primera función a derivar será la función seno, luego habrá que derivar la función contenida por él, es decir, 8x+30.

Finalmente:

y'=8cos(8x+30)

...
......
........
......
...


De esta manera, teniendo en cuenta las reglas, si te pidieran derivar la función:

f (x)=9x^2 + 30x + 18000

Tendrìamos que:

df(x)=d9x^2 +d30x + d18000

Entonces:

f' '(x)=18x +30 

Pues en la derivada de 9x^2 nueve por dos da 18, que es coeficiente por el exponente, y al exponente de x se le resta uno. La derivada de 30x es 30 porque solo lo acompaña una variable y la derivada de 18000 es 0 porque este no está acompañado de ninguna variable a derivar.

Si ahora te pidieran resolver la siguiente expresión:

f (x)=(3x+2)*(4x^2-2)

                3x

Su derivada sería

f '(x)=[(3)*(4x^2-2)+(3x+2)(8x)]*3x - [(3x+2)*(4x^2-2)]*3

                                    (3x)^2

Esto ocurre porque cuando vamos a derivar una función que contenga muchas condiciones, como la anterior, tenemos que tener en cuenta cuál es la operación más relevante, en este caso la operación principal era un cociente, por lo que se aplica primordialmente esta regla. Así pues, tenemos en el numerador el primero término como la derivada del numerador, pero en este numerador hay un producto, por lo que para derivarlo requeriremos de la regla del producto, quedando así: (3)*(4x^2-2)+(3x+2)(8x)]*3x . Luego eso se multiplicará por el denominador sin derivar y luego el segundo termino de el numerador está dado por el producto entre el numerador de la función original por la derivada de el denominador, que es 3.

Procederemos ahora a operar algebraica-mente todos estos términos para reducirlos a su mínima expresión.

f '(x)=(12x^2-6+24x^2+16x)*3x - (12x^3-6x+8x^2-4)*3

                                      (3x)^2

f '(x)=36x^3-18x+72x^3+48x^2 - 36x^3+18x-24x^2+12

                                       9x^2

f '(x)=72x^3+24x^2+12

                9x^2

f '(x)=24x^3+8x^2+4

                3x^2

Ahora bien, ¡Atrévete a hacer estos ejercicios!:

1) f(x)=3x^9+2x^2

2) f(x)=[(x^2+30x+3)^3]*3x

Derivadas en funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, como su mismo nombre lo indica, son funciones, por lo tanto son derivables. Para derivar en funciones trigonométricas existen ciertas reglas básicas, aunque también aplicamos siempre las anteriores reglas de derivación cuando sean necesarias. Cuando vayamos a derivar una función trigonométrica debemos tener en cuenta que la mera función nos exige, casi en todo caso, a excepción de que solo halla una variable a derivar dentro de la función, que apliquemos regla de la composición.

Así pues, vamos a derivar la función siguiente:

y=sen (x^2)*cos (2x)

Como hay un producto, tenemos que resolver por regla del producto, pero tenemos que tener cuidado al derivar las funciones trigonométricas cuando halla que hacerlo, pues como son funciones compuestas, entonces tendremos que derivar también la función del interior, en caso de que la halla. Así queda la derivación:

y'=cos (x^2)*2x*cos(2x)+sen(x^2)*-sen(2x)*2

y'=2x cos (x^2)cos(2x)-2sen(x^2)sen(2x)

Ahora resolveremos otro ejemplo:

y=tan^2 (2x)

Entonces por propiedades de las funciones trigonométricas diremos que:

y= [tan(2x)]^2

Y al derivar...

y'=2tan(2x)sec(2x)*2; pues hay que hacer regla de la cadena, así que el exponente 2 baja como coeficiente. Luego se le resta uno al exponente de la tangente, que queda elevada a la uno. Tras esto se deriva la función interna, pero también hay que derivar la otra función interna (2x), cuya derivada es 2.

Finalmente:

y'=4tan(2x)sec(2x)

Ahora te toca a ti. Resuelve los siguientes ejercicios:

3) f(x)=3sen(2x)+cos^3(x)+sec (x+1)

4) y=sen^2(x^2+3)

Derivadas Implícitas

Las derivadas implícitas se caracterizan por que al no poder despejar a la variable y, es decir, aislarla, no se puede derivar de la manera tradicional. Así pues, tendremos que derivar las dos variables y luego despejar la variable y', sin importar que la variable y pueda quedar en el resultado final, pues comúnmente nos darán las coordenadas en x e y para resolver estos casos.

En ejemplo básico sería el siguiente:

xy^2+y^3=2xy+3x^2

Entonces para derivar las variables x se derivarán de la manera común, mientras que las variables y se derivarán con las reglas normales, pero siempre que se deriven habrá que multiplicarlas por la variable y'. 

Así que al derivar el primer término, xy^2; tenemos in producto, por lo que la derivada quedaría de la siguiente forma: 1y^2+x*2y*y'; pues la derivada de x es 1 y la derivada de y^2 es 2y, teniendo pues que multiplicar al fin por y'.

Si seguimos estas pautas, la derivada sería:

y^2+x*2y*y'+3y^2y'=2y+2xy'+6x; lo siguiente que haremos es agrupar todos los términos con la variable y'en uno de los miembros de la ecuación, mientras todas las otras variables las dejaremos en el lado restante, así:

2xyy'+3y^2y'-2xy'=2y+6x-y^2; luego factorizamos el lado con la variable y' con factor común y'.

y'(2xy+3y^2-2x)=2y+6x-y^2; y finalmente despejamos la variable y' al pasarla como divisor en el otro miembro de la ecuación.

y'=      2y+6x-y^2     

         2xy+3y^2-2x

Así pues, las derivadas implícitas no son nada del otro mundo. Solamente tienes que saber cuándo aplicar y qué regla aplicar. Luego es simple despeje.

Para afianzar tus conocimientos, resuelve las siguientes derivadas implícitas:

5) x^3+3xy^2=4y^4+23xy

6) y=Cos^3 (xy^2+y) 

Si tienes algún problema con los ejercicios, trata viendo el video sobre funciones trigonométricas y derivadas implícitas.

Espero que este blog haya sido de tu agrado. Cualquier comentario o sugerencia será aceptado cordialmente.

¡Éxitos!

Videos Reglas de derivación y Derivadas implícitas y en Funciones Trigonométricas

El siguiente Video trata varias de las pricipales reglas de derivación de una manera puntual y clara.

 

Aquí está la segunda parte, conteniendo la derivación de las funciones trigonométricas y la resolución de derivadas implícitas.

 

Concepción Analítica de las Derivadas (A Partir de los Límites)

La derivada es la pendiente de la reta tangente. Así pues, primero se debe saber qué es una recta tangente; la tangente, según Euclides, es la recta que pasa por un único punto en una circunferencia (La secante cortará la circuferencia en dos puntos cualquiera).

 

Sin embargo, esta definición solo aplica para la circunferencia. Como hay muchas funciones de curva distintas a esta, a continación se explica la fórmula para hallar la derivada de cualquier punto de la curva.

Una de las mejores maneras de abordar el concepto de derivada es a partir del concepto de la recta tangente.

Sea P un punto de una curva y Q un Punto Móvil cercano al punto P en esa curva, considere la recta secante (que pasa por los dos puntos de la curva) QP. La recta tangente será la recta límite cuando Q tiende a acercarse a P.

La idea al derivar será entonces hallar la pendiente de la recta tangente de una curva. Esto es, la pendiente de la recta límite.

Esto de por sí representa un gran problema sistemático, pues no tenemos los dos puntos de la tangente necesarios para hallar la pendiente de un modo común (con ecuación de pendiente), así que convendrá usar la definición de Límites combinada con la común.

Para esto, primero tenemos que tomar en cuenta que las coordenadas para los puntos P y Q vienen dadas en términos de x (una distancia horizonta) y f(x) (como la función que asocia a cada punto de x con una imágen en y.

Así pues, las coordenadas se corresponden para el punto P=[x, f(x)] y las del punto Q=[x+h, f(x+h)]. En el caso del punto Q, la distancia h se deberá en esencia a la existencia de una diferencia de espacio entre los putos P y Q en cuanto al eje x se refiere, así pues, la distancia adicional se representa como h y, por ende, en el eje y la función correspondiente también la incluirá (Remitirse a la imagen del comienzo del blog para aclarar dudas).

Así pues, procederemos ahora a sacar la fórmula para la pendiente de cualquier secante ente P y Q (La secante corta la curva a través de dos puntos, en este caso el punto P y el punto móvil Q).

De la fórmula de la pendiente m=(Y2-Y1)/(X2-X1), tenemos entonces que:

Y ahora, sabiendo que cuando la distancia h de la secante tiende a ser cero se encuentra la tangente, entonces, como nuestro objetivo es encontrar la pendiente de la tangente, aplicaremos límites para encontrar la pendiente de la tangente (ya tenemos la ecuación de la pendiente de secante, así que al aplicar límite tendiendo a 0 buscamos encontrar la pendiente de la secante en la que la distancia h no existe y esa línea es la tangente). Así pues, precederemos a aplicar al límite correspondiente:

La fórmuala anterior será la fórmula general de la derivada a partil de los límites.

Sobre las derivadas, se simbolizan con un apóstrofe en la función, es decir, la derivada de g(x) se nombra como g'(x). También se puede incluir la letra d minúscula antes del nombre de la función, así: dg.

Para resolver ejercicios de derivadas, desde límites, tendremos que remplazar en la fórmula general las funciones determinadas, teniendo sumo cuidado de remplazar adecuadamente en el primer miembro [f(x+h)] cada variable de la función por la expresión x+h.

A continuación se resolverán algunos ejercicios para clarificar aún mejor los conceptos. Aunque antes de realizarlo, debido a la existencia de binomios de Newton (a+b)^n , se expondrá un concepto clave en la resolución de estos: El Triángulo de Pascal.

Este triángulo nos proporciona los coeficientes de los terminos del producto dependiendo de el exponente del binomio inicial, así pues, encontraremos, por ejemplo, que para el exponente 6 los números correspondientes se encontrarán en el "piso" siete del triángulo (los coeficientes de algún exponente se encuentran en el "piso" inmediatamente posterior, es decir, para el exponente uno será el piso dos, para el dos el tres, para el cuatro el cinco y así sucesivamente), por lo que serán respectivamente 1, 6, 15, 20, 15, 6 y 1.

Sobre las variables a y b del binomio inicial las operaremos de la siguiente manera; primero habrá que organizar una de las variables en todos los términos de la potencia y se elevarán descendentemente desde el número al que se elevó origninalmente, si fuera el seis, entonces los exponentes correspondientes para la variable a en cada término serían 6,5,4,3,2,1 y 0 (el último término no tienne a primera variable. Luego se hará el proceso inverso con la segunda variable, esto es; se trascribirá la variable a todos los términos de la potencia y los eponentes de la variable, respectivamente, ascenderán desde 0 hasta 6. Así pues, a resolución del binomio (a+b)^6 es a^6 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6a^1b^5 + b^6. 

...

...

...

...

...

Proseguiremos con los ejercicios.

Hallar la derivada según la definición de límite de las siguientes funciones:

1) f(x)= x^2+9x+300 Lo primero que se hará será remplazar la función en la fórmula de la derivada. Luego se empezará a resolver con reglas algebráicas que pueden incluir factorización, suma algebráica, productos y cocientes algebráicos, productos notables y demás. Debe de ser conciente de que si no tiene suficiente manejo de esos temas debe entrenarlos lo suficiente. Probablemente tendrá que factorizar por factor común para eliminar la variable h del denominador de la fórmula, pues en caso de que no lo hiciera e límite tomaría valor indeterminado infinito.

2) f(x)=x^3+4x^2+3x+4

3) 9x^7

 4) x^3-x

 

5) 2x^2-30x+28

6) f(x)=(x^2-1)/(x+3)

Cabe resaltar que la fórmula se basa en que al lograr cancelar la h del denominador de la fórmula, el resto de aches se encargarán de cancelar los términos innecesarios cuando se reemplaza el límite, pues como h está tendiendo a cero, para resolver la ecuación se debe suponer h=0. Este remplaze final será el que, en caso de que el ejercicio esté correctamente desarrollado, termine dando como resultado la derivada de la función dada.

Estos han sido algunos de los ejemplos de cómo se resuelven los ejercicios de derivadas a partir de la fórmula obtenida con el análisis de la derivada como un límite entre un punto imaginario desplazandose por la función. Así pues, hay reglas de derivación que pueden facilitar el proceso y demás. Estas se verán en el siguiente post. Mientras tanto, vayan practicando sus habilidades matemáticas de derivación con los siguientes ejercicios:

1) 4x^4+3x^3

2) x^3+20x-65

3) x^2/(x+30)

4)1000x^2

5) πx^2-π

Análisis de la fórmula analítica de las derivadas.